সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

 ১ম রাশি = x² + 5x = x ( x + 5) 

২য় রাশি = x² - 25 = x² - 52  = (x + 5) (x - 5) 

৩য় রাশি = x² + 7x + 10 = x² + 5x + 2x + 10 

           = x(x+5) + 2(x+5) = (x+5) (x+2) 

নির্ণেয় গ. সা. গু = (x+5) 

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + 1/x = √5

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4
(x - 1/x)² = (√5)² - 4
(x - 1/x)² = 5 - 4
(x - 1/x)² = 1
x - 1/x = 1

এখন,
x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.(1/x).(x - 1/x)
x³ - 1/x³ = (1)³ + 3(1)
x³ - 1/x³ = 1 + 3
x³ - 1/x³ = 4

উত্তর: 4

x + y = 2
x² + y² = 4

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
or, (2)² = 4 + 2xy
or, 4 = 4 + 2xy
or, 2xy = 4 - 4
or, 2xy = 0
or, xy = 0

আবার,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
or, x³ + y³ = (2)³ - 3(0)(2)
or, x³ + y³ = 8 - 0
or, x³ + y³ = 8

অতএব, x³ + y³ এর মান = 8

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, (অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
১) ৬ : ৪ : ৩ এর ক্ষেত্রে,
বৃহত্তম বাহু ৬ হলে, ৬২ = ৩৬
অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি = ৪২ + ৩২ = ১৬ + ৯ = ২৫
যেহেতু, ৩৬ ≠ ২৫; তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
২) ৬ : ৫ : ৪ এর ক্ষেত্রে,
বৃহত্তম বাহু ৬ হলে, ৬২ = ৩৬
অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি = ৫২ + ৪২ = ২৫ + ১৬ = ৪১
যেহেতু, ৩৬ ≠ ৪১; তাই এটিও সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
৩) ১২ : ৮ : ৪ এর ক্ষেত্রে,
বৃহত্তম বাহু ১২ হলে, ১২২ = ১৪৪
অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি = ৮২ + ৪২ = ৬৪ + ১৬ = ৮০
যেহেতু, ১৪৪ ≠ ৮০; তাই এটিও সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
৪) ১৩ : ১২ : ৫ এর ক্ষেত্রে,
বৃহত্তম বাহু ১৩ হলে, ১৩২ = ১৬৯
অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি = ১২২ + ৫২ = ১৪৪ + ২৫ = ১৬৯
যেহেতু, ১৬৯ = ১৬৯ বা, (১৩)২ = (১২)২ + (৫)২

৩৫=৫×৭ (১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা)
৬৩=৭×৯ (২য় সংখ্যা ×৩য় সংখ্যা)
∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি =৭

৭টি সংখ্যার গড় ১২ 

৭টি সংখ্যার সমষ্টি = (১২ * ৭) = ৭৪ 

একটি সংখ্যা বাতিল করলে ৬টি সংখ্যার সমষ্টি  (১১ * ৬) = ৬৬ ।

 বাতিলকৃত সংখ্যাটি = ৭৪ - ৬৬ = ১৮

 উত্তরঃ ১৮