1/∣2x-5∣<⅓ এর সমাধান-

A : B = 3 : 4
        = 3x3 : 3x4
        = 9 : 12
B : C = 6 : 5
        = 2x6 : 2x5
        = 12 : 10
∴ A : B : c = 9 : 12 : 10
  A : C = 9 : 10

সামান্তিরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে ।
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ।অর্থাৎ AB=CD এবং BD =AC এবং প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ ∠A=∠B=∠C=∠D=90⁰
অন্তর্ভুক্ত কোণ 90⁰ হলে আয়তটি আঁকা সম্ভব

দেওয়া আছে,
tanθ = -5/12
এবং π/2 < θ < π (অর্থাৎ, θ কোণটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত)।

আমরা জানি, ২য় চতুর্ভাগে (Second Quadrant) sinθ এবং cosecθ এর মান ধনাত্মক (+) হয়।

ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুযায়ী,
sec^2(θ) = 1 + tan^2(θ)
sec^2(θ) = 1 + (-5/12)^2
sec^2(θ) = 1 + 25/144
sec^2(θ) = (144 + 25) / 144
sec^2(θ) = 169 / 144

যেহেতু ২য় চতুর্ভাগে secθ ঋণাত্মক, তাই:
secθ = -13/12

আমরা জানি, cosθ = 1 / secθ
অতএব, cosθ = -12/13

আবার, tanθ = sinθ / cosθ
=> sinθ = tanθ * cosθ
=> sinθ = (-5/12) * (-12/13)
=> sinθ = 5/13

আমরা জানি, cosecθ = 1 / sinθ
অতএব, cosecθ = 13/5

উত্তর: cosecθ = 13/5
 

ত্রিভুজটির পরিসীমা ,2s=a+b+c
বা,2s=4+5+9
বা,s=18/2
অতএব,s=9

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =√s(s-a)(s-b)(s-c)
                               =√9(9-4)(9-5)(9-9)
                               =√9×5×4×0
                               =0 বর্গ একক।

[ আসলে 4 সে.মি , 5 সে.মি এবং 9 সে.মি বাহু বিশিষ্ট কোন ত্রিভুজ অঙ্কন করাই সম্ভব না(কারণ, 'ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর') সুতরাং ক্ষেত্রফল অবধারিতভাবে শূন্যই হবে।]

দেয়া আছে,
      6-x-(9/x)=0
বা,(6x-x²-9)/x=0
বা,-x²+6x-9=0
বা,-(x²-6x+9)=0
বা,x²-6x+9=0
বা,x²-2.x.3+3²=0
বা,(x-3)²=0
বা,x-3=0
অতএব,x=3

প্রদত্ত রাশি ,x²÷(x²-x-3)
                =x²/(x²-x-3)
                =3²/(3²-3-3)
                =9/(9-6)
                =9/3
                 =3

x-2=√3
বা,x=2+√3
∴1/x=1(2+√3)

(2-√3)/((2+√3)(2-√3)
=(2-√3)/2²-(√3)²
=(2-√3)/(4-3)
=2-√3

অতএব,
    x+1/x=2+√3+2-√3
             =4

অতএব,
      x⁴+1/x⁴ =(x²)²+(1/x²)²
                 =(x²+1/x²)²-2.x².1/x²
                 ={(x+1/x)²-2.x.1/x}²-2
                 ={(4)²-2}²-2
                 =(16-2)²-2
                 =196-2
                 =194