টপিকঃ ত্রিকোণমিতি
1.
যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?
"প্রদত্ত সমীকরণ: 1 + tan²θ = 4। এখান থেকে, tan²θ = 4 - 1 = 3। সুতরাং, tanθ = √3। আমরা জানি, tan 60° = √3। অতএব, θ = 60°।"
2.
A বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে এক ব্যক্তি ১০ মকি.মি উত্তর দিকে যায়, পরে ৩ কি.মি পশ্চিমে এবং শেষে ৬ কি.মি দক্ষিণে গিয়ে B বিন্দুতে পৌছায়। A বিন্দু থেকে B বিন্দুর দূরত্ব কত?
ব্যক্তিটি ১০ কি.মি. উত্তরে গিয়ে ৬ কি.মি. দক্ষিণে ফিরে আসে। সুতরাং, উত্তর দিকে মোট সরণ = ১০ - ৬ = ৪ কি.মি.। এরপর সে ৩ কি.মি. পশ্চিমে যায়। এখন, A থেকে B এর সরণ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, যার লম্ব ৪ কি.মি. এবং ভূমি ৩ কি.মি.। দূরত্ব = √(৪² + ৩²) = √(১৬ + ৯) = √২৫ = ৫ কি.মি.।"
3.
sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?
অনুক্রমটির পঞ্চম পদ বের করতে n=5 বসাতে হবে। সুতরাং, পদটি হলো sin(5π/6)। sin(5π/6) = sin(π - π/6) = sin(π/6)। আমরা জানি, sin(π/6) বা sin 30° এর মান হলো 1/2
4.
একটি ১৩ মিটার লম্বা মই একটি দেয়ালে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ৫ মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করেছে। মইটির অন্য প্রান্ত ভূমি থেকে কত উচ্চতায় দেয়াল স্পর্শ করেছে?
"এখানে মই, দেয়াল এবং ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে, যেখানে মইয়ের দৈর্ঘ্য হলো অতিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (উচ্চতা)²। এখানে, অতিভুজ = ১৩ মিটার, ভূমি = ৫ মিটার। সুতরাং, (উচ্চতা)² = (১৩)² - (৫)² = ১৬৯ - ২৫ = ১৪৪। অতএব, উচ্চতা = √১৪৪ = ১২ মিটার।"
5.
tan A = 4/3 হলে sec Aএর মান কত?
"আমরা জানি, sec²A = 1 + tan²A। এখানে, tan A = 4/3। সুতরাং, sec²A = 1 + (4/3)² = 1 + 16/9 = (9+16)/9 = 25/9। অতএব, sec A = √(25/9) = 5/3 (কোণ সূক্ষ্মকোণ ধরে)।"
6.
একটি বাড়ির উচ্চতা ৪০ ফুট। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = ৪০ ফুট, ভূমি = ৯ ফুট। মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) বের করতে হবে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (মইয়ের দৈর্ঘ্য)² = (৪০)² + (৯)² = ১৬০০ + ৮১ = ১৬৮১। সুতরাং, মইয়ের দৈর্ঘ্য = √১৬৮১ = ৪১ ফুট।
7.
একটি মই 20 মিটার দীর্ঘ একটি দেয়ালে 45° কোণে স্পর্শ করে আছে। মইয়ের দৈর্ঘ্য কত?
sin 45° = (দেয়ালের উচ্চতা) / (মইয়ের দৈর্ঘ্য)। যদি মইটি দেয়াল বরাবর ২০ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করে, তাহলে sin 45° = 20 / (মইয়ের দৈর্ঘ্য)। 1/√2 = 20 / (মইয়ের দৈর্ঘ্য)। অতএব, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 20√2 মিটার।
8.
{(1/cosθ) + (1/cotθ)} {(1/cosθ) - (1/cotθ)} এর মান কত?
এটি (a+b)(a-b)=a²-b² সূত্রের প্রয়োগ। এখানে, a = 1/cosθ = secθ এবং b = 1/cotθ = tanθ। সুতরাং, রাশিটি হলো (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = sec²θ - tan²θ। আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির এই মৌলিক অভেদটির মান 1।
9.
ΔABC এর B = 90°, AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে. মি. হলে, sin C এর মান কত?
প্রথমে অতিভুজ AC এর মান বের করতে হবে। AC = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 সে.মি.। sin C এর সূত্র হলো (বিপরীত বাহু / অতিভুজ) অর্থাৎ (AB / AC)। সুতরাং, sin C = 3/5।"
10.
Cosec (90°-θ) = 2/√3 হলে, tanθ = কত?
আমরা জানি, cosec(90°-θ) = secθ। সুতরাং, secθ = 2/√3। যেহেতু sec 30° = 2/√3, তাই θ = 30°। অতএব, tanθ = tan 30° = 1/√3