4ⁿ⁺¹=2ⁿ⁻² হলে , n এর মান কত?

দ্বিঘাত সমীকরণ a2 + bx + c = 0 এর মূলদ্বয় সমান হলে,
নিশ্চয়ক b2 - 4ac = 0
.: 2x2 + mx + 6 = 0 এর ক্ষেত্রে

   b2 - 4ac = 0
⇒ m² - 4.2.6 = 0
⇒ m² = 48
.: m = 4√3

∛(∛a³) = ∛a
 

(p+q)² = p²+2pq+q² এটি একটি অভেদ (Identity)।

কারণ, চলক p ও q-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য এই সমীকরণটির উভয়পক্ষ সর্বদা সমান হয়।

সহজ কথায়:
- সমীকরণ (Equation) চলকের নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য হয়।
- অভেদ (Identity) চলকের যেকোনো বা সকল মানের জন্য সত্য হয়।

প্রমাণ:
বামপক্ষ = (p+q)² = (p+q)(p+q) = p² + pq + qp + q² = p² + 2pq + q²
ডানপক্ষ = p² + 2pq + q²

যেহেতু বামপক্ষ ও ডানপক্ষ পুরোপুরি সমান, তাই এটি একটি অভেদ।
 

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =√3/4 (10)²
                                          =√3/4×100
                                          =25√3

 ১ম রাশি = x² + 5x = x ( x + 5) 

২য় রাশি = x² - 25 = x² - 52  = (x + 5) (x - 5) 

৩য় রাশি = x² + 7x + 10 = x² + 5x + 2x + 10 

           = x(x+5) + 2(x+5) = (x+5) (x+2) 

নির্ণেয় গ. সা. গু = (x+5) 

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + 1/x = √5

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4
(x - 1/x)² = (√5)² - 4
(x - 1/x)² = 5 - 4
(x - 1/x)² = 1
x - 1/x = 1

এখন,
x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.(1/x).(x - 1/x)
x³ - 1/x³ = (1)³ + 3(1)
x³ - 1/x³ = 1 + 3
x³ - 1/x³ = 4

উত্তর: 4