∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3: 2 হলে ∠A এর মান কত?

এক গ্লাস গুড়ের শরবতে গুড় ও পানির অনুপাত ৪:৬ হলে গুড়ের পরিমাণ ৪০%।

সমাধানের ধাপসমূহ:
১. অনুপাতের যোগফল: ৪ + ৬ = ১০
২. গুড়ের অংশ: ১০ ভাগের মধ্যে ৪ ভাগ (৪/১০)
৩. শতকরা হিসাব: (৪/১০) × ১০০% = ৪০%

উত্তর: শরবতে গুড়ের পরিমাণ ৪০%।
 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/|2x - 5| < 1/3 

[শর্ত থাকে যে, |2x - 5| ≠ 0
=> 2x - 5 ≠ 0
=> 2x ≠ 5
=> x ≠ 5/2] 

অসমতাটির উভয়পক্ষকে বিপরীতকরণ (উল্টিয়ে) করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হয়ে যায়: 

|2x - 5| > 3 

পরমমানের নিয়ম অনুযায়ী, |x| > a হলে, x > a অথবা x < -a হয়। 

সুতরাং,
2x - 5 > 3 অথবা 2x - 5 < -3 

১ম অংশ:
2x - 5 > 3
=> 2x > 3 + 5
=> 2x > 8
=> x > 4 

২য় অংশ:
2x - 5 < -3
=> 2x < -3 + 5
=> 2x < 2
=> x < 1 

নির্ণেয় সমাধান: x < 1 অথবা x > 4

A : B = 3 : 4
        = 3x3 : 3x4
        = 9 : 12
B : C = 6 : 5
        = 2x6 : 2x5
        = 12 : 10
∴ A : B : c = 9 : 12 : 10
  A : C = 9 : 10

সামান্তিরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে ।
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ।অর্থাৎ AB=CD এবং BD =AC এবং প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ ∠A=∠B=∠C=∠D=90⁰
অন্তর্ভুক্ত কোণ 90⁰ হলে আয়তটি আঁকা সম্ভব

দেওয়া আছে,
tanθ = -5/12
এবং π/2 < θ < π (অর্থাৎ, θ কোণটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত)।

আমরা জানি, ২য় চতুর্ভাগে (Second Quadrant) sinθ এবং cosecθ এর মান ধনাত্মক (+) হয়।

ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুযায়ী,
sec^2(θ) = 1 + tan^2(θ)
sec^2(θ) = 1 + (-5/12)^2
sec^2(θ) = 1 + 25/144
sec^2(θ) = (144 + 25) / 144
sec^2(θ) = 169 / 144

যেহেতু ২য় চতুর্ভাগে secθ ঋণাত্মক, তাই:
secθ = -13/12

আমরা জানি, cosθ = 1 / secθ
অতএব, cosθ = -12/13

আবার, tanθ = sinθ / cosθ
=> sinθ = tanθ * cosθ
=> sinθ = (-5/12) * (-12/13)
=> sinθ = 5/13

আমরা জানি, cosecθ = 1 / sinθ
অতএব, cosecθ = 13/5

উত্তর: cosecθ = 13/5
 

ত্রিভুজটির পরিসীমা ,2s=a+b+c
বা,2s=4+5+9
বা,s=18/2
অতএব,s=9

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =√s(s-a)(s-b)(s-c)
                               =√9(9-4)(9-5)(9-9)
                               =√9×5×4×0
                               =0 বর্গ একক।

[ আসলে 4 সে.মি , 5 সে.মি এবং 9 সে.মি বাহু বিশিষ্ট কোন ত্রিভুজ অঙ্কন করাই সম্ভব না(কারণ, 'ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর') সুতরাং ক্ষেত্রফল অবধারিতভাবে শূন্যই হবে।]