x² -8x-8y+16+y² এর সংগে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটিকে একটি পূর্ণবর্গ রাশিতে পরিণত করতে হলে এর সাথে একটি নির্দিষ্ট পদ যোগ করতে হবে।
প্রদত্ত রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি:
x² + y² - 8x - 8y + 16
আমরা জানি যে (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
আমরা যদি প্রদত্ত রাশিটিকে (x + y + c)² অথবা (x - y + c)² অথবা অনুরূপ কোনো আকারে নিয়ে আসার চেষ্টা করি।
ধরি, পূর্ণবর্গ রাশিটি হবে (x + y + c)².
(x + y + c)² = x² + y² + c² + 2xy + 2cx + 2cy
এখন প্রদত্ত রাশিটির সাথে তুলনা করি: x² + y² - 8x - 8y + 16
এখানে x এর সহগ -8, y এর সহগ -8 এবং ধ্রুবক পদ 16।
যদি (x + y + c)² এর সাথে তুলনা করি:
2c = -8 (x এর সহগ থেকে) => c = -4
2c = -8 (y এর সহগ থেকে) => c = -4
এই মানগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ।
এখন c এর মান (-4) বসিয়ে ধ্রুবক পদ পরীক্ষা করি:
c² = (-4)² = 16. এটি প্রদত্ত রাশির ধ্রুবক পদের সাথে মিলে যায়।
তাহলে, আমরা যদি প্রদত্ত রাশিটিকে (x + y - 4)² আকারে আনতে চাই, তবে কী পদ যোগ করতে হবে দেখি:
(x + y - 4)² = x² + y² + (-4)² + 2(x)(y) + 2(x)(-4) + 2(y)(-4)
= x² + y² + 16 + 2xy - 8x - 8y
প্রদত্ত রাশিটি ছিল: x² + y² - 8x - 8y + 16
এই রাশির সাথে 2xy যোগ করলেই এটি (x + y - 4)² এর সমান হবে।
সুতরাং, x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সংগে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

উত্তর:  2xy