২১৯৫২ সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ধরি,
স্রোতের অনুকূলে 5 কি. মি যায় x ঘন্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে ৩ কিমি যায় x ঘন্টা 

স্রোতের অনুকূলে বেগ = 5/x কিমি/ঘন্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 3/x কিমি/ঘন্টা

প্রশ্নমতে,
15/(5/x) + 15/(3/x) =4
⇒ 15×(x/5) + 15×(x/3)=4
⇒ 3x + 5x = 4
⇒ 8x=4
∴ x =1/2
স্রোতের অনুকূলে বেগ = 5/(1/2)=10 কিমি/ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 3/(1/2) কিমি/ঘন্টা =6 কিমি/ঘন্টা

∴ নৌকার বেগ =(10+6)/2 = 8 কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের বেগ =(10-6)/2 = 2 কিমি/ঘন্টা

আমরা জানি,
একটি পোলের দৈর্ঘ্য সমান হবে ঐ পোলের দৈর্ঘ্য এবং উন্নতি কোণের স্পর্শক গুণ.
এই ক্ষেত্রে, উন্নতি কোণ হল 45°। সুতরাং ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে:
20 মিটার x tan45° = 20 x 1 = 20 মিটার।

মনে রাখবেন এটি কেবল তখনই সত্য যখন আপতন কোণ মেরু এবং মাটির মধ্যে হয়, সূর্যের কোণ নয়।

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি হলে
a : b = b : c
a/b = b/c
b2 = ac

মনে করি সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে  3x ও 2x
  3x ও 2x এর গ সা গু  =x
 প্রশ্নমতে  x=4
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে ,3x=3×4=12
   এবং 2x=2×4=8
8,12 এর ল সা গু =24

x2 + x - m কে ax2 + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 1, c = -m

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b2 - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = 1, a = 1 এবং c = -1
 
b2 - 4ac = 0 
⇒ (1)2 - 4.1.(-m) = 0
⇒ 1 + 4m = 0
⇒ 4m = -1
∴ m = -1/4

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr2 = x2
বা, x = r√π

সুতরাং বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2πr : 4x
= 2πr : 4×r√π
= π : 2√π