একজন মাঝি দাঁড় বেয়ে 15 কি. মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 5 কি. মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কি. মি. যায়। স্রোতের বেগ কত?

আমরা জানি,
একটি পোলের দৈর্ঘ্য সমান হবে ঐ পোলের দৈর্ঘ্য এবং উন্নতি কোণের স্পর্শক গুণ.
এই ক্ষেত্রে, উন্নতি কোণ হল 45°। সুতরাং ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে:
20 মিটার x tan45° = 20 x 1 = 20 মিটার।

মনে রাখবেন এটি কেবল তখনই সত্য যখন আপতন কোণ মেরু এবং মাটির মধ্যে হয়, সূর্যের কোণ নয়।

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি হলে
a : b = b : c
a/b = b/c
b2 = ac

মনে করি সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে  3x ও 2x
  3x ও 2x এর গ সা গু  =x
 প্রশ্নমতে  x=4
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে ,3x=3×4=12
   এবং 2x=2×4=8
8,12 এর ল সা গু =24

x2 + x - m কে ax2 + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 1, c = -m

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b2 - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = 1, a = 1 এবং c = -1
 
b2 - 4ac = 0 
⇒ (1)2 - 4.1.(-m) = 0
⇒ 1 + 4m = 0
⇒ 4m = -1
∴ m = -1/4

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr2 = x2
বা, x = r√π

সুতরাং বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2πr : 4x
= 2πr : 4×r√π
= π : 2√π

2sin²θ + 3cos θ = 0

[since sin²θ=1- cos²θ]

বা, 2(1- cos²θ) + 3cosθ - 3= 0
বা, 2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3= 0
বা, -2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0
বা, - (2cos²θ - 3cosθ + 1) = 0
বা, 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0
বা, 2cos²θ - 2cosθ - cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ(cosθ - 1)- (cosθ - 1) = 0
∴ (cosθ - 1)(2cosθ - 1) = 0

 এখন,
2cosθ - 1 = 0
বা, cosθ = 1/2
বা, cosθ =cos60°
∴ θ =60°

অথবা
বা, cosθ - 1 = 0
বা, cosθ = 1 
বা, cosθ = Cos0°
∴ θ = 0° [গ্রহণযোগ্য নয়]