যদি A =45 °হয়, তবে cos2A-এর মান কত ?

মনে করি ,BC=x
এখানে ,AC=CD=১৬ মিটার
এবং ∠BDCs=৩০⁰
এখন , BDC সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই ,
Sin৩০⁰=x/১৬
বা, ১/২ =x/১৬
বা ২x =১৬
বা,x =৮
অতএব ,খুঁটির দৈর্ঘ্য ৮+১৬ মিটার = ২৪ মিটার
 

tan A = 1
tan A = tan45°
 A = 45°

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব হয়।
ধরি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু P। P বিন্দুতে স্পর্শক আঁকতে হবে।
১. O,P যোগ করি। তাহলে OP হলো স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
২. P বিন্দুতে OP রেখাংশের ওপর PT লম্ব আঁকি।
সুতরাং, PT-ই নির্ণেয় স্পর্শক।
যেহেতু কোনো রেখার একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ঐ রেখার ওপর কেবল একটিই লম্ব আঁকা সম্ভব, তাই বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে কেবল একটিমাত্র স্পর্শক আঁকা যায়।

শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
মনে রাখবেন,
* বৃত্তের উপরস্থ (পরিধির উপরের) কোনো বিন্দুতে স্পর্শক আঁকা যায় = ১টি।
* বৃত্তের বহিস্থ (বাইরের) কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে স্পর্শক আঁকা যায় = ২টি।
* বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ (ভেতরের) কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে কোনো স্পর্শক আঁকা যায় না = ০টি।

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°। এদের যেকোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ = ১৮০ - ৬০ = ১২০°। ফলে, কোনো বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১২০ + ১২০ = ২৪০°

একটি ত্রিভুজে যদি একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে সেই ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হল A, B এবং C।
প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান।
ধরি, A = B + C
আমরা জানি যে, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
অর্থাৎ, A + B + C = 180°
এখন A = B + C এই সমীকরণে A এর মান বসিয়ে,
(B + C) + B + C = 180°
বা, 2B + 2C = 180°
বা, 2(B + C) = 180°
বা, B + C = 90°
যেহেতু A = B + C, তাই A = 90°
সুতরাং, ত্রিভুজটির একটি কোণ 90° হয়েছে, যা একটি সমকোণ।

০০২ সালে নোবেল শান্তি পুরস্কার পেয়েছেন আমেরিকার সাবেক প্রেসিডেন্ট জিমি কার্টার। আন্তর্জাতিক সংঘাতে শান্তিপূর্ণ সমাধান, গণতন্ত্র ও মানবাধিকার রক্ষা এবং সামাজিক উন্নয়নে অসামান্য অবদানের জন্য নরওয়েজিয়ান নোবেল কমিটি তাকে এই সম্মাননা প্রদান করে।